Determinación del misterioso número pi (3.14159...)

Abundando un poco más sobre mi hallazgo matemático de que la relación del perímetro de cualquier cuadrado a su diagonal es la constante 2√2, llegué a la siguiente generalización: para todo polígono regular de 2n caras, donde n es cualquier número natural (1,2,3,...), existe una relación constante entre su perímetro y su diagonal principal, que nos viene dada por

2n cos(90(n-1)/n)

que, obviamente, tiende a pi (3.14159...) cundo n tiende a infinito.

No fue muy difícil llegar a esta conclusión y demostrarla mediante trigonometría elemental. Desgraciadamente también descubrí que Arquímedes se me había adelantado unos cuantos años en la determinación de pi utilizando, igualmente, fórmulas trigonométricas.

En particular, esta fórmula es cierta para n=2, es decir, para el cuadrado, ya que

2x2 cos(90(2-1)/2) = 2√2.

Para n=1, tendríamos un "polígono" cerrado de dos lados (una recta en realidad) para el que aplica la misma fórmula, ya que la relación es, obviamente, 2.